Vollständige Induktion die 1. (leichtes Beispiel)


Gegeben sei folgendes unter der Voraussetzung : n \in \mathbb{N}

\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}~k^2=(-1)^{n-1}~\frac{n(n+1)}{2}

Setzt man 1 ein erhält man:
(-1)^{1-1}~1^2=(-1)^{1-1}~frac{1(1+1)}{2}

1 = 1

Nun gilt es mittels Induktion zu beweisen dass:
(-1)^{(n+1)-1}~\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}=(-1)^{n-1}~\frac{n(n+1)}{2}+(-1)^{(n+1)-1}~(n+1)^2
stimmt.

Der weitere Rechenweg
(-1)^{n}~\frac{n^2+3n+2}{2}=(-1)^{n}*(-1)^{-1}~\frac{n^2+n}{2}+(-1)^{n}~(n^2+2n+1)

~\frac{n^2+3n+2}{2}=(-1)~\frac{n^2+n}{2}+(n^2+2n+1)

n^2+3n+2=(-1)~(n^2+n)+2n^2+4n+2

n^2+3n+2=-n^2-n+2n^2+4n+2

Das wird noch zusammengefasst und die weggekürzt und damit enden wir mit
2=2

q.e.d.

Ähnliche Artikel:

  • Noch keine vorhanden.

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.

*