Vollständige Induktion die 1. (leichtes Beispiel)


Gegeben sei folgendes unter der Voraussetzung : n \in \mathbb{N}

\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}~k^2=(-1)^{n-1}~\frac{n(n+1)}{2}

Setzt man 1 ein erhält man:
(-1)^{1-1}~1^2=(-1)^{1-1}~frac{1(1+1)}{2}

1 = 1

Nun gilt es mittels Induktion zu beweisen dass:
(-1)^{(n+1)-1}~\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}=(-1)^{n-1}~\frac{n(n+1)}{2}+(-1)^{(n+1)-1}~(n+1)^2
stimmt.

Der weitere Rechenweg
(-1)^{n}~\frac{n^2+3n+2}{2}=(-1)^{n}*(-1)^{-1}~\frac{n^2+n}{2}+(-1)^{n}~(n^2+2n+1)

~\frac{n^2+3n+2}{2}=(-1)~\frac{n^2+n}{2}+(n^2+2n+1)

n^2+3n+2=(-1)~(n^2+n)+2n^2+4n+2

n^2+3n+2=-n^2-n+2n^2+4n+2

Das wird noch zusammengefasst und die weggekürzt und damit enden wir mit
2=2

q.e.d.

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Autor: Thomas Pummer

Thomas Pummer ist Softwareentwickler an der Universität Wien. In seiner Freizeit betreut er das Open Source Projekt TrayRSS und werkt an diversen anderen kleinen Projekten. Er ist sehr interessiert an Open Source und Webentwicklung und testet gern neue Programmiersprachen.

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